O problema de Monty Hall e simulações computacionais

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Imagine que você está participando de um programa de auditório, e o apresentador propõe a você o seguinte jogo:

  1. O apresentador mostra a você três portas fechadas. Ele explica que atrás de uma delas está um carro novinho em folha. Atrás de cada uma das outras duas portas está um bode.

  2. O apresentador deixa você escolher uma porta. O objeto que estiver atrás da porta escolhida — carro ou bode — será seu.

  3. Antes de abrir a porta que você escolheu, o apresentador abre uma das duas portas que você não escolheu, mostrando que atrás dela está um bode.

  4. Para tornar o jogo mais emocionante, o apresentador agora pergunta se você quer mudar de idéia e escolher a outra porta (a porta que ele não abriu).

O que você deve fazer para ter uma probabilidade maior de ganhar o carro? Insistir na porta escolhida ou mudar de idéia?


Este é o problema de Monty Hall, assim chamado porque este era o nome do apresentador de um programa da TV norte-americana criado nos anos 1960. No programa original, as regras do jogo não eram exatamente estas — por exemplo, o apresentador nem sempre oferecia ao jogador a oportunidade de mudar de idéia — mas é a versão proposta acima que quero discutir neste artigo.

O que você deve fazer para ter uma probabilidade maior de ganhar o carro? Insistir na porta escolhida ou mudar de idéia?

Se você acha a pergunta fácil de responder, provavelmente a sua resposta está errada.

Você pensou que o carro tem uma probabilidade de 1/3 de estar atrás da porta que você escolheu?

Você pensou certo.

Quando o apresentador abriu uma das outras portas e mostrou o bode, você pensou que agora o carro tem uma probabilidade de 1/2 de estar atrás da porta que você escolheu, e uma probabilidade de 1/2 de estar atrás da porta que ele não abriu?

Você concluiu, então, que mudar de idéia não aumenta nem diminui a probabilidade de você ganhar o carro?

Você pensou errado.

Na verdade, ao mudar de idéia, você dobra sua probabilidade de ganhar o carro.


Se você errou e não entendeu a resposta correta, você está na companhia de cerca de 10 mil leitores da revista norte-americana Parade, que escreveram para a colunista Marilyn vos Savant em 1990, para acusá-la de ignorância matemática por ela ter defendido a resposta de que a probabilidade de ganhar o carro aumenta se você mudar de porta.

Quase mil dos leitores eram PhDs.

Eis uma das cartas:

“Você errou, e errou feio! Como você parece ter dificuldade para entender o
princípio básico em ação aqui, vou explicar. Depois que o apresentador revela o bode, o jogador agora tem uma chance em duas de estar correto. Mudando ou não mudando sua escolha, a chance é a mesma. Já existe bastante analfabetismo matemático neste país; não precisamos que a detentora do maior QI do mundo espalhe mais. Que vergonha!”

Scott Smith, Ph.D., Universidade da Flórida

Na época, Marilyn vos Savant, a colunista, havia sido apontada pelo Livro dos Recordes como a detentora do maior QI do mundo.

Não se sinta mal se você errou, mas leia até o fim, por favor, antes de se manifestar.


O que quero discutir aqui é como uma simples simulação computacional pode nos ajudar a entender a resposta correta.

Com um computador, podemos repetir o jogo quantas vezes quisermos, com arranjos diferentes de bodes e carros atrás das portas, com escolhas iniciais diferentes e com decisões diferentes quanto a mudar de porta. Todos os arranjos e decisões serão definidos aleatoriamente, para que nossa simulação capture, em potencial, todas as situações possíveis.

Quando executamos a simulação, vemos que o jogador que sempre muda de idéia ganha o carro aproximadamente 2/3 das vezes, e o jogador que sempre mantém a escolha original ganha o carro apenas cerca de 1/3 das vezes.

Mas o mais interessante aqui, na minha opinião, é o seguinte:

Não é o resultado da simulação que nos faz entender a resposta, mas sim o próprio algoritmo usado para simular o jogo.


Vamos repetir o jogo 1 milhão de vezes:

 REPETICOES = 1000000 

Vamos inicializar duas variáveis:

ACERTA-TROCANDO = 0
ACERTA-MANTENDO = 0

A primeira vai contar as vezes em que o jogador ganha o carro mudando de idéia, a segunda vai contar as vezes em que o jogador ganha o carro mantendo a escolha original.

Agora, vamos executar o seguinte loop:

Repita REPETICOES vezes:
    CARRO = número aleatório entre 1 e 3
    ESCOLHA = número aleatório entre 1 e 3
    se CARRO == ESCOLHA:
        ACERTA-MANTENDO += 1
    senão:
        ACERTA-TROCANDO += 1

As portas são numeradas de 1 a 3.

As linhas em destaque definem aleatoriamente a porta do carro e a porta escolhida pelo jogador.

Se a escolha inicial do jogador for a porta onde está o carro, o jogador acerta se, e somente se, mantiver a escolha.

Caso contrário, o jogador acerta se, e somente se, mudar de idéia.

Quando executei o código acima, obtive os seguintes resultados:

Em 1.000.000 repetições:
    Frequência de acertos MANTENDO a escolha: 33.32%
    Frequência de acertos TROCANDO a escolha: 66.68%

Preste bem atenção nas linhas destacadas no loop. Ali, dois números entre 1 e 3 (inclusive) são escolhidos ao acaso. Isto quer dizer que existem 9 situações possíveis, todas com a mesma probabilidade:

CARRO ESCOLHA
1 1
1 2
1 3
2 1
2 2
2 3
3 1
3 2
3 3

Se os dois números forem iguais, o jogador ganha se mantiver a escolha original.

Se os dois números forem diferentes, o jogador ganha se mudar de idéia.

Das 9 situações, apenas 3 têm números iguais.

Das 9 situações, 6 têm números diferentes.

Releia os 4 parágrafos acima até entender.


Teóricos costumam torcer o nariz para simulações computacionais[citation needed], mas simulações servem para nos familiarizarmos com o problema que estamos tentando resolver.

Melhor ainda: antes mesmo de executarmos a simulação, podemos entender melhor a estrutura do problema, e podemos acabar encontrando uma resposta analítica.

Para terminar a lista das lições aprendidas com esta experiência, uma conclusão importante, sobretudo para alunos de Ciência da Computação:

Algoritmos não servem apenas para serem executados.


Existem inúmeras referências sobre o problema de Monty Hall nas internets. A wikipedia é sua amiga. E fonte de todas as citações e figuras deste artigo.


Creative Commons License

Texto por Personatus50, disponibilizado sob licença Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0.

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